2021上海高考数学真题 (2021上海中考数学试卷)

第一部分

1. 已知函数 $f(x)=ax^2+bx+c$，其中 $a\ne0$。如果方程 $f(x)=0$ 有两个不相等的实数根，且 $f(1)>0$，求 $a+b$ 的取值范围。
2. 已知 $a$、$b$ 是正实数，且 $a+b=1$。求 $a^2+b^2$ 的最小值。
3. 已知实数 $x$、$y$ 满足 $x^2+y^2=4$。求 $|x-y|$ 的最大值和最小值。
4. 已知 $2$ 进制数 $1001101$ 用 $8$ 进制表示为 $\overline{abc}$，求 $a-c$ 的值。
5. 已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $1$，点 $M$ 在 $AB$ 边上，点 $N$ 在 $CD$ 边上，且 $MN=1$。求三角形 $AMN$ 的面积最大值。

第二部分

1. 已知函数 $f(x)=e^x+mx$，其中 $m$ 为常数。求：
   1. 当 $f(x)$ 的最小值为 $0$ 时，$m$ 的值；
   2. 当 $f(x)$ 的最大值为 $2$ 时，$m$ 的值；
   3. 当 $f(x)$ 的图象与直线 $y=3x-1$ 平行时，$m$ 的值。
2. 已知曲线 $C$ 为函数 $y=-x^2+2x+3$ 的图象。
   1. 求曲线 $C$ 的对称轴方程；
   2. 求曲线 $C$ 在直线 $y=1$ 以上部分的面积。
3. 已知抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 与直线 $y=2x+1$ 相切于点 $(1,3)$。求抛物线的顶点坐标和焦点的坐标。
4. 已知三角形 $ABC$ 是直角三角形，$\angle C=90°$，$AB=3$，$AC=4$。求：
   1. 三角形 $ABC$ 的面积；
   2. 三角形 $ABC$ 的外接圆半径；
   3. 三角形 $ABC$ 的内切圆半径。
5. 已知棱锥 $P-ABCD$ 的底面 $ABCD$ 是正方形，$PA$ 垂直于底面 $ABCD$，$PA=2$，$AB=1$。求：
   1. 棱锥 $P-ABCD$ 的体积；
   2. 棱锥 $P-ABCD$ 的侧棱长。